栈（stack）是一种遵循先入后出逻辑的线性数据结构。我们可以将栈类比为桌面上的一摞盘子，如果想取出底部的盘子，则需要先将上面的盘子依次移走。我们将盘子替换为各种类型的元素（如整数、字符、对象等），就得到了栈这种数据结构。如下图所示，我们把堆叠元素的顶部称为“栈顶”，底部称为“栈底”。将把元素添加到栈顶的操作叫作“入栈”，删除栈顶元素的操作叫作“出栈”。 ![栈的先入后出规则](https://gonline-file.oss-cn-shenzhen.aliyuncs.com/file/png/2024-09-12/3a36ee6e1b1847958a1166ef582ec843.png) ## 栈的常用操作栈的常用操作如下表所示，具体的方法名需要根据所使用的编程语言来确定。在此，我们以常见的 `push()`、`pop()`、`peek()` 命名为例。

表栈的操作效率

| 方法 | 描述 | 时间复杂度 | | -------- | ---------------------- | ---------- | | `push()` | 元素入栈（添加至栈顶） | $O(1)$ | | `pop()` | 栈顶元素出栈 | $O(1)$ | | `peek()` | 访问栈顶元素 | $O(1)$ | 通常情况下，我们可以直接使用编程语言内置的栈类。然而，某些语言可能没有专门提供栈类，这时我们可以将该语言的“数组”或“链表”当作栈来使用，并在程序逻辑上忽略与栈无关的操作。 === "Python" ```python title="stack.py" # 初始化栈 # Python 没有内置的栈类，可以把 list 当作栈来使用 stack: list[int] = [] # 元素入栈 stack.append(1) stack.append(3) stack.append(2) stack.append(5) stack.append(4) # 访问栈顶元素 peek: int = stack[-1] # 元素出栈 pop: int = stack.pop() # 获取栈的长度 size: int = len(stack) # 判断是否为空 is_empty: bool = len(stack) == 0 ``` === "C++" ```cpp title="stack.cpp" /* 初始化栈 */ stack stack; /* 元素入栈 */ stack.push(1); stack.push(3); stack.push(2); stack.push(5); stack.push(4); /* 访问栈顶元素 */ int top = stack.top(); /* 元素出栈 */ stack.pop(); // 无返回值 /* 获取栈的长度 */ int size = stack.size(); /* 判断是否为空 */ bool empty = stack.empty(); ``` === "Java" ```java title="stack.java" /* 初始化栈 */ Stack stack = new Stack<>(); /* 元素入栈 */ stack.push(1); stack.push(3); stack.push(2); stack.push(5); stack.push(4); /* 访问栈顶元素 */ int peek = stack.peek(); /* 元素出栈 */ int pop = stack.pop(); /* 获取栈的长度 */ int size = stack.size(); /* 判断是否为空 */ boolean isEmpty = stack.isEmpty(); ``` === "C#" ```csharp title="stack.cs" /* 初始化栈 */ Stack stack = new(); /* 元素入栈 */ stack.Push(1); stack.Push(3); stack.Push(2); stack.Push(5); stack.Push(4); /* 访问栈顶元素 */ int peek = stack.Peek(); /* 元素出栈 */ int pop = stack.Pop(); /* 获取栈的长度 */ int size = stack.Count; /* 判断是否为空 */ bool isEmpty = stack.Count == 0; ``` === "Go" ```go title="stack_test.go" /* 初始化栈 */ // 在 Go 中，推荐将 Slice 当作栈来使用 var stack []int /* 元素入栈 */ stack = append(stack, 1) stack = append(stack, 3) stack = append(stack, 2) stack = append(stack, 5) stack = append(stack, 4) /* 访问栈顶元素 */ peek := stack[len(stack)-1] /* 元素出栈 */ pop := stack[len(stack)-1] stack = stack[:len(stack)-1] /* 获取栈的长度 */ size := len(stack) /* 判断是否为空 */ isEmpty := len(stack) == 0 ``` === "Swift" ```swift title="stack.swift" /* 初始化栈 */ // Swift 没有内置的栈类，可以把 Array 当作栈来使用 var stack: [Int] = [] /* 元素入栈 */ stack.append(1) stack.append(3) stack.append(2) stack.append(5) stack.append(4) /* 访问栈顶元素 */ let peek = stack.last! /* 元素出栈 */ let pop = stack.removeLast() /* 获取栈的长度 */ let size = stack.count /* 判断是否为空 */ let isEmpty = stack.isEmpty ``` === "JS" ```javascript title="stack.js" /* 初始化栈 */ // JavaScript 没有内置的栈类，可以把 Array 当作栈来使用 const stack = []; /* 元素入栈 */ stack.push(1); stack.push(3); stack.push(2); stack.push(5); stack.push(4); /* 访问栈顶元素 */ const peek = stack[stack.length-1]; /* 元素出栈 */ const pop = stack.pop(); /* 获取栈的长度 */ const size = stack.length; /* 判断是否为空 */ const is_empty = stack.length === 0; ``` === "TS" ```typescript title="stack.ts" /* 初始化栈 */ // TypeScript 没有内置的栈类，可以把 Array 当作栈来使用 const stack: number[] = []; /* 元素入栈 */ stack.push(1); stack.push(3); stack.push(2); stack.push(5); stack.push(4); /* 访问栈顶元素 */ const peek = stack[stack.length - 1]; /* 元素出栈 */ const pop = stack.pop(); /* 获取栈的长度 */ const size = stack.length; /* 判断是否为空 */ const is_empty = stack.length === 0; ``` === "Dart" ```dart title="stack.dart" /* 初始化栈 */ // Dart 没有内置的栈类，可以把 List 当作栈来使用 List stack = []; /* 元素入栈 */ stack.add(1); stack.add(3); stack.add(2); stack.add(5); stack.add(4); /* 访问栈顶元素 */ int peek = stack.last; /* 元素出栈 */ int pop = stack.removeLast(); /* 获取栈的长度 */ int size = stack.length; /* 判断是否为空 */ bool isEmpty = stack.isEmpty; ``` === "Rust" ```rust title="stack.rs" /* 初始化栈 */ // 把 Vec 当作栈来使用 let mut stack: Vec = Vec::new(); /* 元素入栈 */ stack.push(1); stack.push(3); stack.push(2); stack.push(5); stack.push(4); /* 访问栈顶元素 */ let top = stack.last().unwrap(); /* 元素出栈 */ let pop = stack.pop().unwrap(); /* 获取栈的长度 */ let size = stack.len(); /* 判断是否为空 */ let is_empty = stack.is_empty(); ``` === "C" ```c title="stack.c" // C 未提供内置栈 ``` === "Kotlin" ```kotlin title="stack.kt" /* 初始化栈 */ val stack = Stack() /* 元素入栈 */ stack.push(1) stack.push(3) stack.push(2) stack.push(5) stack.push(4) /* 访问栈顶元素 */ val peek = stack.peek() /* 元素出栈 */ val pop = stack.pop() /* 获取栈的长度 */ val size = stack.size /* 判断是否为空 */ val isEmpty = stack.isEmpty() ``` === "Ruby" ```ruby title="stack.rb" # 初始化栈 # Ruby 没有内置的栈类，可以把 Array 当作栈来使用 stack = [] # 元素入栈 stack << 1 stack << 3 stack << 2 stack << 5 stack << 4 # 访问栈顶元素 peek = stack.last # 元素出栈 pop = stack.pop # 获取栈的长度 size = stack.length # 判断是否为空 is_empty = stack.empty? ``` === "Zig" ```zig title="stack.zig" ``` ??? pythontutor "可视化运行" https://pythontutor.com/render.html#code=%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E6%A0%88%0A%20%20%20%20%23%20Python%20%E6%B2%A1%E6%9C%89%E5%86%85%E7%BD%AE%E7%9A%84%E6%A0%88%E7%B1%BB%EF%BC%8C%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E6%8A%8A%20list%20%E5%BD%93%E4%BD%9C%E6%A0%88%E6%9D%A5%E4%BD%BF%E7%94%A8%0A%20%20%20%20stack%20%3D%20%5B%5D%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%85%A5%E6%A0%88%0A%20%20%20%20stack.append%281%29%0A%20%20%20%20stack.append%283%29%0A%20%20%20%20stack.append%282%29%0A%20%20%20%20stack.append%285%29%0A%20%20%20%20stack.append%284%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E6%A0%88%20stack%20%3D%22,%20stack%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E8%AE%BF%E9%97%AE%E6%A0%88%E9%A1%B6%E5%85%83%E7%B4%A0%0A%20%20%20%20peek%20%3D%20stack%5B-1%5D%0A%20%20%20%20print%28%22%E6%A0%88%E9%A1%B6%E5%85%83%E7%B4%A0%20peek%20%3D%22,%20peek%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%87%BA%E6%A0%88%0A%20%20%20%20pop%20%3D%20stack.pop%28%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%87%BA%E6%A0%88%E5%85%83%E7%B4%A0%20pop%20%3D%22,%20pop%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%87%BA%E6%A0%88%E5%90%8E%20stack%20%3D%22,%20stack%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8E%B7%E5%8F%96%E6%A0%88%E7%9A%84%E9%95%BF%E5%BA%A6%0A%20%20%20%20size%20%3D%20len%28stack%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E6%A0%88%E7%9A%84%E9%95%BF%E5%BA%A6%20size%20%3D%22,%20size%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%A4%E6%96%AD%E6%98%AF%E5%90%A6%E4%B8%BA%E7%A9%BA%0A%20%20%20%20is_empty%20%3D%20len%28stack%29%20%3D%3D%200%0A%20%20%20%20print%28%22%E6%A0%88%E6%98%AF%E5%90%A6%E4%B8%BA%E7%A9%BA%20%3D%22,%20is_empty%29&cumulative=false&curInstr=2&heapPrimitives=nevernest&mode=display&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false ## 栈的实现为了深入了解栈的运行机制，我们来尝试自己实现一个栈类。栈遵循先入后出的原则，因此我们只能在栈顶添加或删除元素。然而，数组和链表都可以在任意位置添加和删除元素，**因此栈可以视为一种受限制的数组或链表**。换句话说，我们可以“屏蔽”数组或链表的部分无关操作，使其对外表现的逻辑符合栈的特性。 ### 基于链表的实现使用链表实现栈时，我们可以将链表的头节点视为栈顶，尾节点视为栈底。如下图所示，对于入栈操作，我们只需将元素插入链表头部，这种节点插入方法被称为“头插法”。而对于出栈操作，只需将头节点从链表中删除即可。 === "LinkedListStack" ![基于链表实现栈的入栈出栈操作](https://gonline-file.oss-cn-shenzhen.aliyuncs.com/file/png/2024-09-12/871e2a1551d14ee7be9b531a864a99af.png) === "push()" ![linkedlist_stack_push](https://gonline-file.oss-cn-shenzhen.aliyuncs.com/file/png/2024-09-12/d76d3c04278742f9ae024684134e08a9.png) === "pop()" ![linkedlist_stack_pop](https://gonline-file.oss-cn-shenzhen.aliyuncs.com/file/png/2024-09-12/aa152b8c74a343018ebbd2f2a5c83e95.png) 以下是基于链表实现栈的示例代码： ```src [file]{linkedlist_stack}-[class]{linked_list_stack}-[func]{} ``` ### 基于数组的实现使用数组实现栈时，我们可以将数组的尾部作为栈顶。如下图所示，入栈与出栈操作分别对应在数组尾部添加元素与删除元素，时间复杂度都为 $O(1)$ 。 === "ArrayStack" ![基于数组实现栈的入栈出栈操作](https://gonline-file.oss-cn-shenzhen.aliyuncs.com/file/png/2024-09-12/f523cc70618d450784d8092b97992cf3.png) === "push()" ![array_stack_push](https://gonline-file.oss-cn-shenzhen.aliyuncs.com/file/png/2024-09-12/5f3b5116137b454ba74a09cc8844a14b.png) === "pop()" ![array_stack_pop](https://gonline-file.oss-cn-shenzhen.aliyuncs.com/file/png/2024-09-12/57bb45c0f2754cff88806761796e4d35.png) 由于入栈的元素可能会源源不断地增加，因此我们可以使用动态数组，这样就无须自行处理数组扩容问题。以下为示例代码： ```src [file]{array_stack}-[class]{array_stack}-[func]{} ``` ## 两种实现对比 **支持操作** 两种实现都支持栈定义中的各项操作。数组实现额外支持随机访问，但这已超出了栈的定义范畴，因此一般不会用到。 **时间效率** 在基于数组的实现中，入栈和出栈操作都在预先分配好的连续内存中进行，具有很好的缓存本地性，因此效率较高。然而，如果入栈时超出数组容量，会触发扩容机制，导致该次入栈操作的时间复杂度变为 $O(n)$ 。在基于链表的实现中，链表的扩容非常灵活，不存在上述数组扩容时效率降低的问题。但是，入栈操作需要初始化节点对象并修改指针，因此效率相对较低。不过，如果入栈元素本身就是节点对象，那么可以省去初始化步骤，从而提高效率。综上所述，当入栈与出栈操作的元素是基本数据类型时，例如 `int` 或 `double` ，我们可以得出以下结论。 - 基于数组实现的栈在触发扩容时效率会降低，但由于扩容是低频操作，因此平均效率更高。 - 基于链表实现的栈可以提供更加稳定的效率表现。 **空间效率** 在初始化列表时，系统会为列表分配“初始容量”，该容量可能超出实际需求；并且，扩容机制通常是按照特定倍率（例如 2 倍）进行扩容的，扩容后的容量也可能超出实际需求。因此，**基于数组实现的栈可能造成一定的空间浪费**。然而，由于链表节点需要额外存储指针，**因此链表节点占用的空间相对较大**。综上，我们不能简单地确定哪种实现更加节省内存，需要针对具体情况进行分析。 ## 栈的典型应用 - **浏览器中的后退与前进、软件中的撤销与反撤销**。每当我们打开新的网页，浏览器就会对上一个网页执行入栈，这样我们就可以通过后退操作回到上一个网页。后退操作实际上是在执行出栈。如果要同时支持后退和前进，那么需要两个栈来配合实现。 - **程序内存管理**。每次调用函数时，系统都会在栈顶添加一个栈帧，用于记录函数的上下文信息。在递归函数中，向下递推阶段会不断执行入栈操作，而向上回溯阶段则会不断执行出栈操作。